Ejercicio en clase, comprobación interés en anual, mensual, diario

Pedro tiene una cuenta, el $01$ de Diciembre tenía $S/. 50, 000$ y no realizó ningún deposito hasta el 31 de Mayo siendo su capital final de $S/. 50, 017, 48$ (neto de ITF). El interés ganado en el mes de Diciembre sería?

Calcule la TREA

Datos

Capital al $01 / 12 / 2023 = C_{0} = S/. 50, 000.00$
Capital al $31 / 05 / 2024 = C_{n} = S/. 50, 017, 48$
$I_{diciembre} = ? ? ?$
$TREA = ? ? ?$
$Tiempo = 31 / 05 / 2024 - 01 / 12 / 2023 = ? ? ?$

Calculamos el intervalo de tiempo en el que el capital ha generado rendimiento (interés):

Tiempo = 31 / 05 / 2024 - 01 / 12 / 2023 = ? ? ?

Diciembre: $30 días$
Enero: $31 días$
Febrero: $29 días$
Marzo: $31 días$
Abril: $30 días$
Mayo: $30 días$

Tiempo real:

30_{Diciembre} + 31_{Enero} + 29_{Febrero} + 31_{Marzo} + 30_{Abril} + 30_{Mayo} = 181 días

Tiempo comercial (ajustando Enero, Febrero y Marzo a $30 días$ ):

30_{Diciembre} + 30_{Enero} + 30_{Febrero} + 30_{Marzo} + 30_{Abril} + 30_{Mayo} = 180 días

Entonces:

Tiempo = 31 / 05 / 2024 - 01 / 12 / 2023 = 180 días

Tomamos el tiempo total $(180 días)$ en periodo semestral $(180 días)$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + i_{semestral})^{\frac{180 días}{180 días}}

∴ i_{semestral} = \frac{c_{n}}{c_{0}} - 1 = \frac{50017, 48}{50000} - 1

⟹ i_{semestral} = 0, 0003496 \approx 0, 03 %

Comprobamos el $i_{semestral}$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + i_{semestral})^{\frac{180 días}{180 días}}

C_{n} = 50000 \times (1 + 0, 0003496)^{1} = 50017, 48

Buscamos la tasa equivalente mensual:

C_{0} \times (1 + i_{semestral})^{1} = C_{0} \times (1 + i_{mensual})^{6}

i_{mensual} = \sqrt[6]{1 + i_{semestral}} - 1

i_{mensual} = \sqrt[6]{1 + 0, 0003496} - 1 = 0, 00005825818 \approx 0, 01 %

Comprobamos el $i_{mensual}$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + i_{mensual})^{\frac{180 días}{30 días}}

C_{n} = 50000 \times (1 + 0, 00005825818)^{6} = 50017, 48

Buscamos la tasa equivalente diaria:

C_{0} \times (1 + i_{semestral})^{1} = C_{0} \times (1 + i_{diario})^{180}

i_{diario} = \sqrt[180]{1 + i_{semestral}} - 1

i_{diaria} = \sqrt[180]{1 + 0, 0003496} - 1 = 0, 00000194188 \approx 0, 00 %

Comprobamos el $i_{diario}$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + i_{diario})^{\frac{180 días}{1 día}}

C_{n} = 50000 \times (1 + 0, 00000194188)^{180} = 50017, 48

Buscamos la tasa equivalente anual:

C_{0} \times (1 + i_{semestral})^{1} = C_{0} \times (1 + i_{anual})^{\frac{1}{2}}

i_{anual} = (1 + i_{semestral})^{2} - 1

i_{anual} = (1 + 0, 0003496)^{2} - 1 = 0, 00069932222 \approx 0, 07 %

Comprobamos el $i_{anual}$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + i_{anual})^{\frac{180 días}{360 días}}

C_{n} = 50000 \times (1 + 0, 00069932222)^{\frac{1}{2}} = 50017, 48

Hallamos el interés generado en Diciembre:

I = C_{n} - C_{0}

I = C_{0} (1 + i)^{n} - C_{0}

I = C_{0} [(1 + i)^{n} - 1]

Con $i_{diaria}$ :
$I_{diciembre} = 50000 [(1 + 0, 00000194188)^{\frac{30 días}{1 día}} - 1] = 2, 912909048$
$I_{diciembre} \approx 2, 91 soles$

Con $i_{mensual}$ :
$I_{diciembre} = 50000 [(1 + 0, 00005825818)^{\frac{30 días}{30 días}} - 1] = 2, 912909048$
$I_{diciembre} \approx 2, 91 soles$

Con $i_{semestral}$ :
$I_{diciembre} = 50000 [(1 + 0, 0003496)^{\frac{30 días}{180 días}} - 1] = 2, 912909048$
$I_{diciembre} \approx 2, 91 soles$

Con $i_{anual}$ :
$I_{diciembre} = 50000 [(1 + 0, 00069932222)^{\frac{30 días}{360 días}} - 1] = 2, 912909048$
$I_{diciembre} \approx 2, 91 soles$

Hallamos la TREA:

$TREA = ({(\frac{M_{f}}{M_{i}})}^{\frac{P}{T}}) - 1 = ({(\frac{M_{i} + I - C}{M_{i}})}^{\frac{P}{T}}) - 1$
$M_{i}$ : Monto inicial del depósito
$M_{f}$ : Monto final en el último periodo
$P$ : Último periodo consumido
$T$ : Número de periodos en que se divide el tiempo
$I$ : Intereses del primer periodo
$C$ : Comisiones y gastos totales del periodo

Como no hubo operaciones durante el periodo ni nos hablan de mantenimiento, $C = 0$
De $I = C_{n} - C_{0} ⟹ C_{n} = I + C_{0}$

$TREA = ({(\frac{M_{f}}{M_{i}})}^{\frac{P}{T}}) - 1 = ({(\frac{C_{0} + I - 0}{C_{0}})}^{\frac{P}{T}}) - 1$
$TREA = ({(\frac{C_{n}}{C_{0}})}^{\frac{P}{T}}) - 1 = ({(\frac{50017, 48}{50000})}^{\frac{P}{T}}) - 1$
$∴ TREA = (1.0003496)^{\frac{P}{T}} - 1$

Calculamos la TREA a partir de días:

$P = 180 \land T = 360$
$TREA = (1.0003496)^{\frac{P}{T}} - 1 = (1.0003496)^{\frac{180}{360}} - 1$

TREA = 0, 00017478472514986798 \approx 0, 02 %

Comprobamos la $TREA$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + TREA)^{n}

C_{n} = 50000 \times (1 + 0, 00017478472514986798)^{\frac{1}{2}}

C_{n} = 50004, 36943 \approx 50004, 37 soles

Si fuera con:

$P = 360 \land T = 180$
$TREA = (1.0003496)^{\frac{P}{T}} - 1 = (1.0003496)^{\frac{360}{180}} - 1$

TREA = 0, 00069932222016 \approx 0, 07 %

Comprobamos la $TREA$ :

C_{n} = C_{0} \times (1 + TREA)^{n}

C_{n} = 50000 \times (1 + 0, 00069932222016)^{\frac{1}{2}}

C_{n} = 50017, 48 soles