Desarrollo examen parcial 114302

PREGUNTAS

(3 Puntos)
Determine el Valor Futuro de $S/. 3500, 00$ compuesto anual para los Sgtes.:
a) 5 años al 6% anual
b) 10 años al 8.5% anual
c) 20 años al 6% anual
- ¿Cambiaría por el interés ganado si fuera simple anual?
  Calcule para los 3 casos

Desarrollo:

$C_{n} = C_{0} \times (1 + i)^{n}$
Donde:
$\begin{aligned} C_{n} & = Capital final o Valor futuro \\ C_{0} & = Capital inicial o Valor presente \\ i & = Tipo de interés acordado en el préstamo \\ n & = Cantidad de periodos de la tasa \\ en el tiempo del préstamo \end{aligned}$

Datos:

C_{0} : S/. 3500, 00

a)
Tiempo: $5$ años
$i : 6 %$ anual
Como el tiempo está en años y la Tasa de interés es anual, reemplazamos directamente:

C_{n} = 3500 \times (1 + 0, 06)^{5}

C_{n} = 4683, 789522

b)
Tiempo: $10$ años
$i : 8.5 %$ anual
Como el tiempo está en años y la Tasa de interés es anual, reemplazamos directamente:

C_{n} = 3500 \times (1 + 0, 085)^{10}

C_{n} = 7913, 442047

c)
Tiempo: $20$ años
$i : 6 %$ anual
Como el tiempo está en años y la Tasa de interés es anual, reemplazamos directamente:

C_{n} = 3500 \times (1 + 0, 06)^{20}

C_{n} = 11224, 97415

(2 Puntos)
Calcula el tiempo que ha pasado desde que Alfonso invirtió $S/. 6, 155.00$ a una $T E A$ de $10.55 %$ si al final de la operación hemos recibido $S/. 14, 294.60$
- Desarrollo:

Datos:
Tiempo : $?$
TEA: $10, 55 %$
$C_{n} : 14294, 60$ $14294, 60 = 6155 \times (1 + 0, 1055)^{n}$ $2, 322427043 = (1 + 0, 1055)^{n}$ $\log (2, 322427043) = \log ((1 + 0, 1055)^{n})$ $\log (2, 322427043) = n \times \log (1, 1055)$ $n = \frac{\log (2, 322427043)}{\log (1, 1055)}$ $n = 8, 401158799$ Como la tasa es anual (TEA), el tiempo está en años:
$n = 8, 401158799$ años

(1 Punto)
Hallar la tasa nominal, si la tasa efectiva mensual es del $13, 65 %$
- Desarrollo

$C_{n} = C_{0} (1 + n \times i)$
Donde:
$\begin{aligned} C_{n} & = Capital final o Valor futuro \\ C_{0} & = Capital inicial o Valor presente \\ n & = Cantidad de periodos de la tasa en el tiempo del préstamo \\ i & = Tipo de interés acordado en el préstamo \end{aligned}$

Como no nos dicen el periodo de la tasa nominal asumimos que es anual, para convertir tasas de nominal a efectiva tomamos $n = 1$ porque ahí el interés simple (nominal) y el interés compuesto (efectivo) son iguales:

C_{n} = C_{0} \times (1 + n \times i_{n o m i n a l}) = C_{0} \times (1 + T E M)^{n}

C_{0} \times (1 + n \times i_{n o m i n a l}) = C_{0} \times (1 + T E M)^{n}

1 + n \times i_{n o m i n a l} = (1 + T E M)^{n}

n \times i_{n o m i n a l} = (1 + T E M)^{n} - 1

Como nos piden la tasa nominal anual y tenemos la tasa efectiva mensual, expresamos el periodo $n = 1$ de la tasa anual ( $1$ año) en la tasa mensual ( $12$ meses)

1 \times i_{n o m i n a l} = (1 + T E M)^{12} - 1

i_{n o m i n a l} = (1 + 0, 1365)^{12} - 1

i_{n o m i n a l} = 4, 643369889 - 1

i_{n o m i n a l} = 3, 643369889

i_{n o m i n a l} \approx 364, 34 %

- Extra:
Para comprobar, hallamos el monto generado por la tasa efectiva mensual de $13, 65 %$ para un capital inicial de $1000$ y $1$ año de tiempo:

C_{n} = 1000 \times (1 + 0, 1365)^{12} = 4643, 369889

Debería ser igual al monto generado por la tasa nominal anual con el mismo capital en el mismo tiempo:

C_{n} = 1000 \times (1 + (1) \times 3, 643369889) = 4643, 369889

(1 Punto)
Hallar la tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa nominal anual del $21.18 %$ con capitalización semestral
- Desarrollo

- Datos:
TEA : $?$
$i_{n o m i n a l} = 21, 18 %$ anual
Capitalización semestral

C_{0} \times (1 + T E A)^{n} = C_{0} \times (1 + n \times i_{n o m i n a l})

(1 + T E A)^{n} = 1 + n \times i_{n o m i n a l}

Como la capitalización es semestral y tenemos tasas anuales, expresamos el periodo $n = 1$ en años ( $1$ año) y semestres ( $2$ semestres) respectivamente:
$$(1+TEA)^{\dfrac{1\text{ años}}{2\text{ semestres}}}=1+\left(\frac{1\text{ años}}{2\text{ semestres}}\right)\times i_{nominal}$$
$$(1+TEA)^{\dfrac{1}{2}}=1+\left(\frac{1}{2}\right)\times 0,2118$$
$$TEA=(1+0,1059)^2-1$$
$$TEA=0,22301481$$
$$TEA\approx22,30%$$

(3 Puntos)
En cuanto se descuenta un documento con valor nominal de $S/. 43, 250.00$ el $01$ de abril si vence el $11$ de noviembre, y se descuenta a una $T E A$ del $13.5 %$ ?
Ademas Hallar Valor Presente
- Desarrollo:
  Datos:
  $C_{n} : S/. 43, 250.00$
  Fecha inicial: 01 Abril
  Fecha final: 11 Noviembre
  TEA: 13.5%
  Tiempo transcurrido: 220 días

(4 Puntos)
Andrea apertura una cuenta ahorros en el BBVA con un deposito de $S/. 2, 550.00$ y devenga una $T E A$ de $6 %$ . si el importe se colocó desde el $01$ Octubre $2023$ al $10$ Enero $2024$ abonándose intereses cada fin de mes. Se cobra Mantenimiento por $S/. 10.50$ mes y Portes por $S/. 3.00$ mes
Hallar la TREA

(4 Puntos)
El Sr. Guerrero tiene tres deudas de $S/. 4, 500.00$ , $S/. 7, 650.00$ у $S/. 11, 500.00$ soles con vencimientos a los $4$ , $7$ y $10$ meses, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar al $8 v o$ mes. Calcular el importe a pagar en ese momento si la operación se concierta al $8.25 %$ de interés compuesto anual

Desarrollo:
Datos:
$C_{n} : S/. 43, 250.00$
$i_{c p} = 8.25 %$

Deuda 1:
- Monto: $4500.00$
- Vencimiento: $4$ meses

Deuda 2:
- Monto: $7650.00$
- Vencimiento: $7$ meses

Deuda 3:
- Monto: $11500.00$
- Vencimiento: $10$ meses

Nueva fecha de pago:
- 8vo mes
$V P_{8} = V F_{4} + V F_{7} + V P_{10}$ $V P_{8} = 4500 (1 + i_{m})^{4} + 7650 (1 + i_{m})^{1} + \frac{411500}{(1 + i_{m})^{2}}$

(2 Puntos)
De la Sgte. Tabla. Calcule el IPC años $2022$ y la Inflación $2022$

Tabla	2020	2021	2022	% Consumo
Alimentación	17	20	25	50
Transporte	15	19	22	30
Enseñanza	10	17	21	20

Desarrollo:
Tomamos el $2020$ como año base, entonces $I P C_{2020} = 100 %$
IPC del $2021$ :
$I P C_{2021} = (\frac{20}{17}) \times 0, 5 + (\frac{19}{15}) \times 0, 3 + (\frac{17}{10}) \times 0, 2$
$I P C_{2021} = 1, 308235294$
$I P C_{2021} \approx 130, 82 %$
IPC del $2022$ :
$I P C_{2022} = (\frac{25}{17}) \times 0, 5 + (\frac{22}{15}) \times 0, 3 + (\frac{21}{10}) \times 0, 2$
$I P C_{2022} = 1, 595294118$
$I P C_{2022} \approx 159, 53$
Inflación:
$π_{2022} = \frac{I P C_{2021} - I P C_{2022}}{I P C_{2021}} \times 100$
$π_{2022} = \frac{1, 308235294 - 1, 595294118}{1, 308235294} \times 100$
$π_{2022} = 0, 1799410029 \times 100$
$π_{2022} \approx 17, 99 %$