Desarrollo de la PC1 de matematica financiera

1. Halle el interés de $S/.8,500$ colocados durante $7$ días al $11.7\mathrm{\%}$ anual
   • Datos:
     • $I_{\text{simple}}=?$
     • $C_0=8500\text{ soles}$
     • $n=7\text{ días}={\displaystyle \frac{7}{360}}\text{ años}$
     • $i_{\text{anual}}=11,7\mathrm{\%}=0,117$
   • Desarrollo:
     $I=C_0\times n\times i$
     $I=8500\times {\displaystyle \frac{7}{360}}\times 0,117$
     $I=19,3375\approx 19,34\text{ soles}$

2. ¿Cual es el Capital final que podrá disponer el $19$ de junio, si el 20 $de$ abril se invirtió $\text{S/. }5,000$ a una tasa de Interes Simple del $25\mathrm{\%}$?
   • Datos:
     • $C_n=?$
     • $n_{\text{dias}}=19\text{ Junio}-20\text{ Abril}=x\text{ días}$
     • $C_0=5000\text{ soles}$
     • $i_{\text{anual}}=25\mathrm{\%}=0,25$
   • Desarrollo:
     Comenzamos calculando la cantidad de días:
     • Abril: $20\text{ hasta }30=11\text{ días}$
     • Mayo: $31\text{ días}$
     • Junio: $19\text{ días}$
     • Total: $11+31+19=61\text{ días}$
       Luego aplicamos la fórmula del Interes Simple:
       $C_n=C_0\times (1+i\times n)$
       $C_n=5000\times (1+0,25\times {\displaystyle \frac{61}{360}})$
       $C_n=5211,805556\approx 5211,81\text{ soles}$

3. ¿Cual es el Capital final que podrá disponer el $28$ de agosto, si el $20$ de abril se invirtió $\text{S/. }9,760$S/. 15,000 a una tasa de interés compuesto del $20\mathrm{\%}$?
   • Datos:
     • $C_n=?$
     • $n_{\text{dias}}=28\text{ Agosto}-20\text{ Abril}=x\text{ días}$
     • $C_0=15000\text{ soles}$
     • $i_{\text{anual}}=20\mathrm{\%}=0,2$
   • Desarrollo:
     Comenzamos calculando la cantidad de días:
     • Abril: $20\text{ hasta }30=11\text{ días}$
     • Mayo: $31\text{ días}$
     • Junio: $30\text{ días}$
     • Julio: $31\text{ días}$
     • Agosto: $28\text{ días}$
     • Total: $11+31+30+31+28=131\text{ días}$
       Luego aplicamos la fórmula del interés compuesto:
       $C_n=C_0(1+i{)}^n$
       $C_n=15000(1+0,2{)}^{\left(\frac{131}{360}\right)}$
       $C_n=16028,9264\approx 16028,93\text{ soles}$

4. ¿En cuantos días una inversión de $\text{S/. }9,760$ se convertirá en un montante de $\text{S/. }15,943.34$ a una tasa de rentabilidad anual del $15\mathrm{\%}$ semestral?
   • Datos:
     • $n_{\text{días}}=?$
     • $C_0=9760\text{ soles}$
     • $C_n=15943,34\text{ soles}$
     • $i_{\text{anual}}=15\mathrm{\%}=0,15$
   • Desarrollo:
     Considerando interés compuesto, pasamos la tasa a semestral:
     $(1+i_{\text{semestral}}{)}^2=(1+i_{\text{anual}}{)}^1$
     $i_{\text{semestral}}=\sqrt{1+i_{\text{anual}}}-1$
     $i_{\text{semestral}}=\sqrt{1+0,15}-1$
     $i_{\text{semestral}}=0,07238052948$
     Calculamos el tiempo en años:
     $C_n=C_0(1+i{)}^{n_{\text{semestres}}}$
     $15943,34=9760(1+0,07238052948{)}^{n_{\text{semestres}}}$
     $1,633538934=(1,07238052948{)}^{n_{\text{semestres}}}$
     $\log (1,633538934)=\log ((1,07238052948{)}^{n_{\text{semestres}}})$
     $\log (1,633538934)=n_{\text{semestres}}\times \log (1,07238052948)$
     $n_{\text{semestres}}={\displaystyle \frac{\log (1,633538934)}{\log (1,07238052948)}}=7,022638329$
     Calculamos $n_{\text{semestres}}$:
     $n_{\text{días}}=n_{\text{semestres}}\times 180$
     $n_{\text{días}}=7,022638329\times 180=1264,074899$
     $n_{\text{días}}\approx 1264,07\text{ días}$

5. ¿Cual es la tasa efectiva a $115$ días, si su tasa efectiva equivalente a $28$ días es del $10\mathrm{\%}$?
   • Datos:
     • $i_{115}=?$
     • $i_{28}=10\mathrm{\%}=0,1$
   • Desarrollo:
     Si son equivalentes generan el mismo monto, entonces usando el interés compuesto:
     $C_n=C_0(1+i{)}^n$
     $C_0(1+i_{115}{)}^1=C_0(1+i_{28}{)}^{\left(\frac{115}{28}\right)}$
     $1+i_{115}=(1+i_{28}{)}^{\left(\frac{115}{28}\right)}$
     $i_{115}=(1+i_{28}{)}^{\left(\frac{115}{28}\right)}-1$
     $i_{115}=(1+0,1{)}^{\left(\frac{115}{28}\right)}-1$
     $i_{115}=0,4791277031\approx 47,91\mathrm{\%}$

6. El BBVA nos cobra una tasa efectiva semestral del $10.6\mathrm{\%}$. Calcule la tasa diaria
   • Datos:
     • $i_{\text{diaria}}=?$
     • $i_{\text{semestral}}=10,6\mathrm{\%}=0,106$
   • Desarrollo:
     Si son equivalentes generan el mismo monto, entonces usando el interés compuesto:
     $C_n=C_0(1+i{)}^n$
     $C_0(1+i_{semestral}{)}^1=C_0(1+i_{diaria}{)}^{\left(\frac{180}{1}\right)}$
     $1+i_{semestral}=(1+i_{diaria}{)}^{180}$
     $i_{diaria}=\sqrt[180]{(1+i_{semestral})}-1$
     $i_{diaria}=\sqrt[180]{(1+0,106)}-1$
     $i_{diaria}=0,00055987835\approx 0,06\mathrm{\%}$

7. Un señor tiene tres deudas de $12,000$; $14,000$ y $15,000$ euros con vencimientos a los $3$, $6$ y $9.50$ años, respectivamente, llegando al acuerdo con el acreedor de sustituir las tres deudas por una sola a pagar a los $8$ años. Cuál es el importe a pagar si la operación se concierta al $8.15\mathrm{\%}$ de interés compuesto anual
   • Datos:
     • $D_n=?\wedge n=8\text{ años}$
     • $D_1=12000\wedge n_1=3\text{ años}$
     • $D_2=14000\wedge n_2=6\text{ años}$
     • $D_3=15000\wedge n_3=9,5\text{ años}$
     • $i=8,15\mathrm{\%}=0,0815$
   • Desarrollo:
     Hallamos el valor en $n=8$:
     $D_n=12000(1+0,0815{)}^{8-3}+14000(1+0,0815{)}^{8-6}+15000(1+0,0815{)}^{8-9,5}$
     $D_n=12000(1,0815{)}^5+14000(1,0815{)}^2+15000(1,0815{)}^{-1,5}$
     $D_n=17754,72152+16374,99150+13336,79493$
     $D_n=47466,50795\approx 47466,51\text{ euros}$

8. Calcula el Tipo de interés al que estuvieron colocados $\text{S/. }29,666$ durante $5$ años, si se convirtieron en $\text{S/. }44,966$
   • Datos:
     • $i=?$
     • $C_0=29666$
     • $n=5\text{ años}$
     • $C_n=44966$
   • Desarrollo:
     $i_{\text{5 años}}={\displaystyle \frac{I_{\text{total}}}{C_0}}={\displaystyle \frac{C_n-C_0}{C_0}}={\displaystyle \frac{44966-29666}{29666}}={\displaystyle \frac{15300}{29666}}=0,51574192...$
     $i=i_k\times k⟹i_k={\displaystyle \frac{i}{k}}$
     $i_{\text{anual}}={\displaystyle \frac{i_{\text{5 años}}}{5}}={\displaystyle \frac{0,51574192}{5}}=0,10314838...$
     $⟹i_{\text{anual}}\approx 10,31\mathrm{\%}$

9. ¿Cuanto tiempo han de estar impuestas $\text{S/. }7,600$ al $10\mathrm{\%}$ de interés compuesto, para convertirse en $\text{S/. }15,970.39$?
   • Datos:
     • $n=?$
     • $C_0=7600$
     • $i_{\text{anual}}=10\mathrm{\%}=0,1$
     • $C_n=15970,39$
   • Desarrollo:
     $C_n=C_0(1+i_{\text{anual}}{)}^n$
     $15970,39=7600(1+0,1{)}^n$
     $2,101367105=(1,1{)}^n$
     $\log (2,101367105)=\log ((1,1{)}^n)$
     $\log (2,101367105)=n\times \log (1,1)$
     $n={\displaystyle \frac{\log (2,101367105)}{\log (1,1)}}$
     $n=7,791278297\text{ años}$
     $n\approx 7,79\text{ años}$

10. Calcular los intereses de descuento por anticipar capital de $\text{S/. }405,000$ por $7$ meses a un tipo de descuento del $9\mathrm{\%}$ compuesto

• Datos:
  • $D_{\text{cp}}=?$
  • $C_n=405000$
  • $t=7\text{ meses}$
  • $d=9\mathrm{\%}=0,09$

- Desarrollo:
$D_{\text{cp}}=C_n(1-{\displaystyle \frac{1}{(1+d{)}^n}})$
$D_{\text{cp}}=405000(1-{\displaystyle \frac{1}{(1+0,09{)}^{{\displaystyle \frac{7\text{meses}}{12\text{ meses}}}}}})$
$D_{\text{cp}}=405000(1-{\displaystyle \frac{1}{(1,09{)}^{{\displaystyle \frac{7}{12}}}}})$
$D_{\text{cp}}=19856,2103\text{ soles}$
$D_{\text{cp}}\approx 19856,21\text{ soles}$