Practica en clase

${\displaystyle \int x(x^2+1{)}^{2}dx}$
Sea $u$ una función dependiente de $x$, entonces:
$u_{(x)}=x^2+1$

Derivamos respecto a $x$:
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=\frac{d(x^2+1)}{dx}}$
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=\frac{d(x^2)}{dx}+\frac{d(1)}{dx}}$
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=2x+0}$
${\displaystyle d{u}_{(x)}=2xdx⟹xdx=\frac{d{u}_{(x)}}{2}}$

Reemplazamos en la integral original:
${\displaystyle \int x(x^2+1{)}^{2}dx=\int (x^2+1{)}^{2}xdx=\int u^2\frac{du}{2}=\frac{1}{2}\int u^{2}du}$

Integramos:
${\displaystyle \int u^{2}du=\frac{u^{2+1}}{2+1}+C=\frac{1}{3}{u}^3+C}$

Reemplazamos:
${\displaystyle \frac{1}{2}\int u^{2}du=\frac{1}{2}[\frac{1}{3}{u}^3+C]=\frac{1}{6}{u}^3+\frac{C}{2}}$

Como $C$ es un número (una constante), da igual si está dividida o multiplicada ya que ese resultado también va ser un número, entonces lo podemos escribir sólo como $C$, también reemplazamos la función $u$ por su equivalente en la variable original $x$:
${\displaystyle \frac{1}{6}{u}^3+\frac{C}{2}=\frac{1}{6}(x^2+1{)}^3+C}$

Desarrollamos el binomio al cubo:
${\displaystyle \frac{(x^2{)}^3+3(x^2{)}^2(1)+3(x^2)(1{)}^2+(1{)}^3}{6}+C}$
${\displaystyle ⟹\frac{x^6+3x^4+3x^2+1}{6}+C}$

${\displaystyle \int x^2{e}^{x^3+1}dx}$
Sea $u$ una función dependiente de $x$, entonces:
$u_{(x)}=x^3+1$

Derivamos respecto a $x$:
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=\frac{d(x^3+1)}{dx}}$
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=\frac{d(x^3)}{dx}+\frac{d(1)}{dx}}$
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=3x^2+0}$
${\displaystyle d{u}_{(x)}=3x^{2}dx⟹x^{2}dx=\frac{d{u}_{(x)}}{3}}$

Reemplazamos en la integral original:
${\displaystyle \int x^2{e}^{x^3+1}dx=\int e^{x^3+1}{x}^{2}dx=\int e^u\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int e^{u}du}$

Integramos:
${\displaystyle \int e^{u}du=e^u+C}$

Reemplazamos:
${\displaystyle \frac{1}{3}\int e^{u}du=\frac{1}{3}[e^u+C]=\frac{1}{3}{e}^u+\frac{C}{3}}$

Volvemos a la variable original $x$:
${\displaystyle \frac{1}{3}{e}^u+\frac{C}{3}=\frac{1}{3}{e}^{x^3+1}+C}$
${\displaystyle ⟹\frac{e^{x^3+1}}{3}+C}$

${\displaystyle \int \frac{3x}{2x^2+2}dx}$
Sea $u$ una función dependiente de $x$, entonces:
$u_{(x)}=2x^2+2$

Derivamos respecto a $x$:
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=\frac{d(2x^2+2)}{dx}}$
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=\frac{d(2x^2)}{dx}+\frac{d(2)}{dx}}$
${\displaystyle \frac{d(u_{(x)})}{dx}=4x+0}$
${\displaystyle d{u}_{(x)}=4xdx⟹xdx=\frac{d{u}_{(x)}}{4}}$

Reemplazamos en la integral original:
${\displaystyle \int \frac{3x}{2x^2+2}dx=3\int \frac{xdx}{2x^2+2}=3\int \frac{1}{u}\frac{du}{4}=\frac{3}{4}\int \frac{du}{u}}$

Integramos:
${\displaystyle \int \frac{du}{u}=\ln |u|+C}$

Reemplazamos:
${\displaystyle \frac{3}{4}\int \frac{du}{u}=\frac{3}{4}[\ln |u|+C]=\frac{3}{4}\ln |u|+\frac{3}{4}C}$

Volvemos a la variable original $x$:
${\displaystyle \int \frac{3x}{2x^2+2}dx=\frac{3}{4}\ln |2x^2+2|+C}$
${\displaystyle ⟹\frac{3\ln |2x^2+2|}{4}+C}$

${\displaystyle {\int }_0^2{x}^{\frac{4}{3}}dx}$
Usamos la segunda de las Fórmulas básicas de integración:
${\displaystyle \int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C}$
${\displaystyle ⟹\int x^{\frac{4}{3}}dx=\frac{x^{\frac{4}{3}+1}}{\frac{4}{3}+1}+C=\frac{x^{\frac{7}{3}}}{\frac{7}{3}}+C=\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}+C}$

Cuando la integral está definida ya se tiene incluida la constante de integración:
${\displaystyle {\int }_0^2{x}^{\frac{4}{3}}dx=\frac{3}{7}{x}^{\frac{7}{3}}{|}_0^2=\frac{3}{7}(2{)}^{\frac{7}{3}}-\frac{3}{7}(0{)}^{\frac{7}{3}}=\frac{3}{7}\sqrt[3]{128}}$

${\displaystyle {\int }_1^2{x}^{\frac{3}{2}}dx}$
Usamos la segunda de las Fórmulas básicas de integración:
${\displaystyle \int x^{a}dx=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C}$
${\displaystyle ⟹\int x^{\frac{3}{2}}dx=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+C=\frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}+C=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}+C}$

Cuando la integral está definida ya se tiene incluida la constante de integración:
${\displaystyle {\int }_1^2{x}^{\frac{3}{2}}dx=\frac{2}{5}{x}^{\frac{5}{2}}{|}_1^2=\frac{2}{5}(2{)}^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{5}(1{)}^{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}\sqrt{32}-\frac{2}{5}}$