Desarrollo Examen Parcial 114205

1. Vida útil de las bombillas

La vida útil de las bombillas fabricadas por cierta compañía, se mide mediante una variable aleatoria X cuya función de densidad de probabilidad es $f_{(x)} = 0.02 e^{- 0.02 x}$ , donde $x$ denota la duración en horas de una bombilla seleccionada aleatoriamente
Indique cual es la probabilidad de que la duración de una bombilla seleccionada aleatoriamente dure entre 30 y 50 horas:

P_{(30 \leq x \leq 50)} = \int_{30}^{50} 0.02 e^{- 0.02 x} d x

Solución:
Sea una función $u_{(x)}$ tal que:

u = - 0.02 x

d u = - 0.02 d x

\frac{d u}{- 0.02} = d x

Reemplazando en la integral $I$ :

I = \int 0.02 e^{- 0.02 x} d x = \int 0.02 e^{u} \frac{d u}{- 0.02} = - \int e^{u} d u

⟹ I = - (e^{u}) + C = - e^{- 0.02 x} + C

∴ P_{(30 \leq x \leq 50)} = - e^{- 0.02 x} |_{30}^{50}

P_{(30 \leq x \leq 50)} = - e^{0.02 (50)} - (- e^{0.02 (30)})

⟹ P_{(30 \leq x \leq 50)} = 0.180932

2. Hallar el área por suma de límite

Hallar el área, por suma límite de la región limitada por la curva:
$y = - x^{2} - 2 x + 15$ , $x = - 5 \land x = 3$

Solución:
Primero hacemos la gráfica de la función, podemos partir de la ecuación de la parábola o simplemente tabular los puntos en el intervalo que nos piden (con calculadora)

Parábola con vértice en $(h, k)$ : $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$
$y = - x^{2} - 2 x + 15$
$y = - (x^{2} + 2 x) + 15$
$y = - (x^{2} + 2 x + 1 - 1) + 15$
$y = - ((x^{2} + 2 x + 1) - 1) + 15$
$y = - (x + 1)^{2} + 1 + 15$
$y = - (x + 1)^{2} + 16$
$(x + 1)^{2} = - y + 16$
$(x + 1)^{2} = - (y - 16)$

$∴ V_{(h, k)} = (- 1, 16) \land p = - \frac{1}{4}$
Tabulando en el intervalo $[- 5, 3]$ :

x	$f_{(x)}$
-5	0
-4	7
-3	12
-2	15
-1	16
0	15
1	12
2	7
3	0

De ambas formas obtenemos:

Para hallar el área por suma partimos el intervalo $[- 5, 3]$ en $n$ subsegmentos de igual tamaño:

Δ x = \frac{3 - (- 5)}{n} = \frac{8}{n}

Luego hallamos los puntos $x_{i}$ en donde vamos a evaluar la función:

x_{i} = x_{0} + i Δ x = - 5 + i \frac{8}{n} = - 5 + \frac{8 i}{n}

Evaluamos la función en cada punto:

f_{(x)} = - x^{2} - 2 x + 15

f_{(x_{i})} = - {(- 5 + \frac{8 i}{n})}^{2} - 2 (- 5 + \frac{8 i}{n}) + 15

f_{(x_{i})} = - ((- 5)^{2} + 2 (- 5) (\frac{8 i}{n}) + {(\frac{8 i}{n})}^{2}) + 10 - \frac{16 i}{n} + 15

f_{(x_{i})} = - (25 - \frac{80 i}{n} + \frac{64 i^{2}}{n^{2}}) - \frac{16 i}{n} + 25

f_{(x_{i})} = - 25 + \frac{80 i}{n} - \frac{64 i^{2}}{n^{2}} - \frac{16 i}{n} + 25

f_{(x_{i})} = \frac{64 i}{n} - \frac{64 i^{2}}{n^{2}}

Entonces el área de cada rectángulo $r_{i}$ será:

A_{(r_{i})} = f_{(x_{i})} Δ x

El área bajo la función será la suma de todos los rectángulos cuando $Δ x \to 0$ , para eso evaluamos el límite cuando $n \to \infty$ :

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} A_{(r_{i})} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f_{(x_{i})} Δ x

Reemplazando tenemos:

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{64 i}{n} - \frac{64 i^{2}}{n^{2}}) (\frac{8}{n})

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} (\frac{512 i}{n^{2}} - \frac{512 i^{2}}{n^{3}})

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} (\sum_{i = 1}^{n} \frac{512 i}{n^{2}} - \sum_{i = 1}^{n} \frac{512 i^{2}}{n^{3}})

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} (\frac{512}{n^{2}} \sum_{i = 1}^{n} i - \frac{512}{n^{3}} \sum_{i = 1}^{n} i^{2})

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} (\frac{512}{n^{2}} (\frac{n (n + 1)}{2}) - \frac{512}{n^{3}} (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}))

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} (256 (\frac{n^{2} + n}{n^{2}}) - \frac{256}{3} (\frac{(n + 1) (2 n + 1)}{n^{2}}))

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} (256 (1 + \frac{1}{n}) - \frac{256}{3} (\frac{2 n^{2} + 3 n + 1}{n^{2}}))

A_{t o t a l} = lim_{n \to \infty} (256 + \frac{256}{n} - \frac{256}{3} (2 + \frac{3}{n} + \frac{1}{n^{2}}))

A_{t o t a l} = 256 - \frac{256 (2)}{3} + lim_{n \to \infty} (\frac{256}{n} - (\frac{256 (3)}{(3) n} + \frac{256 (1)}{(3) n^{2}}))

A_{t o t a l} = 256 - \frac{512}{3} = \frac{256}{3}

A_{t o t a l} = 85, \overset{⌢}{3}

3. Integrar la función

$\int_{0}^{2} e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + 4) d x$

Solución:

Separamos la integral con la propiedad distributiva:

$\int_{0}^{2} e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + 4) d x = \int_{0}^{2} e^{- 2 x} (x^{2}) d x - \int_{0}^{2} e^{- 2 x} (3 x) d x + \int_{0}^{2} e^{- 2 x} (4) d x$
Desarrollamos las integrales intermedias:

$I_{1} = \int e^{- 2 x} (x^{2}) d x$
Tomamos por partes haciendo $u = x^{2}$ y $d v = e^{- 2 x} d x$
$⟹ d u = 2 x d x \land v = \frac{e^{- 2 x}}{- 2}$
Reemplazamos en $I_{1}$ :
$I_{1} = \int e^{- 2 x} (x^{2}) d x = \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{- 2} - \int \frac{e^{- 2 x}}{- 2} 2 x d x = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} + \int e^{- 2 x} x d x$
$I_{2} = \int e^{- 2 x} x d x$
Tomamos por partes haciendo $u = x$ y $d v = e^{- 2 x} d x$
$⟹ d u = d x \land v = \frac{e^{- 2 x}}{- 2}$
Reemplazamos en $I_{2}$ :
$I_{2} = \int e^{- 2 x} x d x = \frac{x e^{- 2 x}}{- 2} - \int \frac{e^{- 2 x}}{- 2} d x = - \frac{x e^{- 2 x}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$
$I_{3} = \int e^{- 2 x} d x = - \frac{e^{- 2 x}}{2} + C$
Reemplazamos $I_{1}$ , $I_{2}$ e $I_{3}$ en la integral original:

I = \int_{0}^{2} e^{- 2 x} (x^{2}) d x - \int_{0}^{2} e^{- 2 x} (3 x) d x + \int_{0}^{2} e^{- 2 x} (4) d x

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} + \int_{0}^{2} e^{- 2 x} x d x - 3 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} x d x + 4 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} d x

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} - 2 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} x d x + 4 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} d x

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} - 2 (- \frac{x e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x) + 4 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} d x

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} + x e^{- 2 x} |_{0}^{2} - \int e^{- 2 x} d x + 4 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} d x

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} + x e^{- 2 x} |_{0}^{2} + 3 \int_{0}^{2} e^{- 2 x} d x

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} + x e^{- 2 x} |_{0}^{2} + 3 (\frac{e^{- 2 x}}{- 2} |_{0}^{2})

I = - \frac{x^{2} e^{- 2 x}}{2} |_{0}^{2} + x e^{- 2 x} |_{0}^{2} - \frac{3}{2} e^{- 2 x} |_{0}^{2}

Evaluamos:

I = - \frac{(2)^{2} e^{- 2 (2)}}{2} + (2) e^{- 2 (2)} - \frac{3}{2} (e^{- 2 (2)} - e^{- 2 (0)})

I = - \frac{4 e^{- 4}}{2} + 2 e^{- 4} - \frac{3}{2} (e^{- 4} - 1)

I = - \frac{3}{2} e^{- 4} + \frac{3}{2}

\int_{0}^{2} e^{- 2 x} (x^{2} - 3 x + 4) d x = 1.472526

4. Costo de un fabricante

Un fabricante descubrió que el costo marginal es $\frac{d c}{d q} = (0.1 q + 1) e^{0.03 q}$ dólares la unidad cuando se producen $q$ unidades. Si el costo total de producir $10$ unidades es de $ $200$ , Cuál es el costo total de producir las primeras $20$ unidades?

Solución:

Hallamos la función $C_{(q)}$ que representa el Costo Total:

\frac{d C_{(q)}}{d q} = (0.1 q + 1) e^{0.03 q}

d C_{(q)} = 0.1 q e^{0.03 q} d q + e^{0.03 q} d q

\int d C_{(q)} = \frac{1}{10} \int q e^{0.03 q} d q + \int e^{0.03 q} d q

Desarrollamos por partes la integral:

$I_{1} = \int q e^{0.03 q} d q$
Haciendo: $u = q \land d v = e^{0.03 q} d q$
$⟹ d u = d q \land v = \frac{e^{0.03 q}}{0.03}$ $I_{1} = \int q e^{0.03 q} d q = \frac{q e^{0.03 q}}{0.03} - \int \frac{e^{0.03 q}}{0.03} d q$

Reemplazando en la integral original:

C_{(q)} = \frac{1}{10} (\frac{q e^{0.03 q}}{0.03} - \int \frac{e^{0.03 q}}{0.03} d q) + \int e^{0.03 q} d q

C_{(q)} = \frac{q e^{0.03 q}}{0.3} - \frac{1}{0.3} \int e^{0.03 q} d q + \int e^{0.03 q} d q

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{10}{3} \int e^{0.03 q} d q + \int e^{0.03 q} d q

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{7}{3} \int e^{0.03 q} d q

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{7}{3} (\frac{e^{0.03 q}}{0.03}) + k

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{7}{3} (\frac{1}{0.03}) e^{0.03 q} + k

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{7}{3} (\frac{100}{3}) e^{0.03 q} + k

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{700}{9} e^{0.03 q} + k

Hallamos la variable de integración con el dato que nos dan que cuando $q = 10$ el costo total es $C_{(10)} = 200$ :

C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{700}{9} e^{0.03 q} + k

C_{(10)} = \frac{10}{3} (10) e^{0.03 (10)} - \frac{700}{9} e^{0.03 (10)} + k = 200

∴ k = 259.993724

⟹ C_{(q)} = \frac{10}{3} q e^{0.03 q} - \frac{700}{9} e^{0.03 q} + 259.993724

Nos piden el costo en $q = 20$ :

C_{(20)} = \frac{10}{3} (20) e^{0.03 (20)} - \frac{700}{9} e^{0.03 (20)} + 259.99372

C_{(20)} = 239.747960

5. Utilidad total

Determinar la utilidad total si las funciones de ingreso marginal y de costo marginal están dadas por $\frac{d r}{d q} = 25 - 5 q - 2 q^{2}$ y $\frac{d c}{d q} = 10 - 3 q - q^{2}$ graficar el ingreso marginal y el costo marginal ( $q$ = unidades producidas)
Sugerencias:

Igualar $\frac{d r}{d q} - \frac{d c}{d q} = 0$ para obtener los valores de $q$
$u^{'} = \frac{d u}{d q} = \frac{d r}{d q} - \frac{d c}{d q}$
Utilidad total = $\int_{a}^{b} (\frac{d r}{d q} - \frac{d c}{d q}) d q$
Aproximar la utilidad total con la regla de Simpson para $n = 6$

Solución:

Igualamos el Ingreso Marginal con el Costo Marginal para determinar la cantidad producida $q$ en ese punto:

\frac{d r}{d q} - \frac{d c}{d q} = 0

25 - 5 q - 2 q^{2} - (10 - 3 q - q^{2}) = 0

25 - 5 q - 2 q^{2} - 10 + 3 q + q^{2} = 0

q^{2} + 2 q - 15 = 0

(q + 5) (q - 3) = 0

Como $q$ representa la cantidad producida entonces $q \in N$ :
$∴ q = 3$

Integramos la Utilidad Marginal para obtener la Utilidad Total al producir y vender $q$ unidades:

U_{(q)} = \int (\frac{d r}{d q} - \frac{d c}{d q}) d q

U_{(q)} = \int (25 - 5 q - 2 q^{2} - 10 + 3 q + q^{2}) d q

U_{(q)} = \int (15 - 2 q - q^{2}) d q

U_{(q)} = 15 \int d q - 2 \int q d q - \int q^{2} d q

U_{(q)} = 15 q - 2 \frac{q^{2}}{2} - \frac{q^{3}}{3} + k

U_{(q)} = 15 q - q^{2} - \frac{q^{3}}{3} + k

Como la utilidad al producir y vender cero unidades es cero, entonces:

U_{(0)} = 15 (0) - (0)^{2} - \frac{(0)^{3}}{3} + k = 0

∴ k = 0

⟹ U_{(q)} = 15 q - q^{2} - \frac{q^{3}}{3}

La utilidad total al producir y vender $3$ unidades es:

U_{(3)} = 15 (3) - (3)^{2} - \frac{(3)^{3}}{3} = 27

Aproximando el valor de la Utilidad Total por la regla de Simpson para $n = 6$ :
Empezamos obteniendo los intervalos:
$Δ q = \frac{3 - 0}{6} = \frac{3}{6} = 0.5$
Entonces la integral $\int_{0}^{3} (15 q - q^{2} - \frac{q^{3}}{3}) d q$ , por la regla de Simpson, será igual a: $$I=\frac{\Delta q}{3}\left[U_{(q_0)}+4\sum_{i=1}^{3} U_{(q_{2i-1})}+2\sum_{i=2}^{3} U_{(q_{2i-2})}+U_{(q_{6})}\right]$$
Operamos las sumatorias:
$\sum_{i = 1}^{3} U_{(q_{2 i - 1})} = U_{(q_{1})} + U_{(q_{3})} + U_{(q_{5})}$
$\sum_{i = 1}^{3} U_{(q_{2 i - 1})} = U_{(0.5)} + U_{(1.5)} + U_{(2.5)}$
$\sum_{i = 1}^{3} U_{(q_{2 i - 1})} = 13.75 + 9.75 + 3.75 = 27.25$
$\sum_{i = 2}^{3} U_{(q_{2 i - 2})} = U_{(q_{2})} + U_{(q_{4})}$
$\sum_{i = 2}^{3} U_{(q_{2 i - 2})} = U_{(1)} + U_{(2)}$
$\sum_{i = 2}^{3} U_{(q_{2 i - 2})} = 12 + 7 = 19$

Reemplazamos los valores:

I = \frac{0.5}{3} [U_{(0)} + 4 (27.25) + 2 (19) + U_{(3)}]

I = \frac{1}{6} [15 + 109 + 38 + 0]

I = \frac{1}{6} (162)

\int_{0}^{3} (15 q - q^{2} - \frac{q^{3}}{3}) d q = 27