Desarrollo del parcial matematica I

Utilidad de Fabricación

El ingreso total obtenido con la venta de $x$ copiadoras LectroCopy es

- 0.04 x^{2} + 2000 x

dólares/semana y el costo total incurrido en la fabricación de $x$ copiadoras es

0.000002 x^{3} - 0.02 x^{2} + 1000 x + 120000

dólares/semana $(0 \leq x \leq 50000)$ . Encuentre una expresión que dé la utilidad semanal de la empresa

Solución

El $I n g r e s o$ depende de la cantidad vendida ( $q_{v e n d i d a}$ )
El $C o s t o$ depende de la cantidad producida ( $q_{p r o d u c i d a}$ )

U t i l i d a d = I n g r e s o s (q_{v e n d i d a}) - C o s t o s (q_{p r o d u c i d a})

En este problema nos dicen que la cantidad vendida ( $x$ ) es el mismo numero de copiadoras que se fabrican ( $x$ )

∴ q_{v e n d i d a} = q_{p r o d u c i d a} = x

⟹ U t i l i d a d = I n g r e s o s (x) - C o s t o s (x)

Por dato del problema sabemos:
$I n g r e s o s (x) = - 0.04 x^{2} + 2000 x$
$C o s t o s (x) = 0.000002 x^{3} - 0.02 x^{2} + 1000 x + 120000$
6
$U = - 0.04 x^{2} + 2000 x - (0.000002 x^{3} - 0.02 x^{2} + 1000 x + 120000)$
$U = - 0.04 x^{2} + 2000 x - 0.000002 x^{3} + 0.02 x^{2} - 1000 x - 120000$
$U = - 0.000002 x^{3} - 0.04 x^{2} + 0.02 x^{2} + 2000 x - 1000 x - 120000$

Como en el problema los costos y los ingresos son semanales

∴ La expresión de la Utilidad semanal es:

U = - 0.000002 x^{3} - 0.02 x^{2} + 1000 x - 120000

Oferta de lamparas de escritorio

El fabricante de lampara de escritorio Luminar sacara $x$ miles de unidades al mercado, si su precio unitario es de $p$ dolares, donde $p$ y $x$ están relacionadas por la ecuación

p = 0.1 x^{2} + 0.5 x + 15

Si el precio unitario de la lampara se fija en $$ 20$ , ¿cuantas lamparas lanzará al mercado el fabricante?

Solución

20 = 0.1 x^{2} + 0.5 x + 15

0 = 0.1 x^{2} + 0.5 x - 5

(10) 0 = (10) (0.1 x^{2} + 0.5 x - 5)

0 = x^{2} + 5 x - 50

0 = (x)^{2} + 2 \times x \times \frac{5}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2} - 50

50 + {(\frac{5}{2})}^{2} = (x)^{2} + 2 \times x \times \frac{5}{2} + {(\frac{5}{2})}^{2}

\frac{200}{4} + (\frac{25}{4}) = {(x + \frac{5}{2})}^{2}

\frac{225}{4} = {(x + \frac{5}{2})}^{2}

\sqrt{\frac{225}{4}} = \sqrt{{(x + \frac{5}{2})}^{2}}

\frac{\sqrt{225}}{\sqrt{4}} = | x + \frac{5}{2} |

\frac{15}{2} = | x + \frac{5}{2} |

⟹ x + \frac{5}{2} = \frac{15}{2} \lor x + \frac{5}{2} = - \frac{15}{2}

x_{1} = \frac{15}{2} - \frac{5}{2} \land x_{2} = - \frac{15}{2} - \frac{5}{2}

x_{1} = \frac{10}{2} = 5 \land x_{2} = - \frac{20}{2} = - 10

Como $x$ son las miles de unidades que sacara al mercado entonces tomamos el valor positivo

∴ El fabricante lanzará 5000 unidades

Recta
El numero proyectado de sistemas de navegación (en millones) instalados en vehículos en Norteamérica, Europa y Japón de $2002$ a $2006$ se muestra en la siguiente tabla ( $0$ corresponde a $2002$ )

Año ( $x$ )	0	1	2	3	4
Sistemas instalados ( $y$ )	3.9	4.7	5.8	6.8	7.8

Grafique las ventas anuales contra el año
Trace una linea recta por los puntos correspondientes a $2002$ y $2006$
Determine una ecuación lineal de esa recta
Utilice la ecuación para estimar el numero de sistemas de navegación instalados en el año $2007$

Solución

Para hallar la ecuación lineal de la recta $(y = m x + b)$ necesitamos determinar la pendiente $m$ y el parámetro $b$

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}

Reemplazamos $P_{1} = (x_{1}; y_{1})$ y $P_{2} = (x_{2}; y_{2})$ con cualquier par ordenado que pase por la recta, en este caso elegimos $P_{1} = (0; 3.9)$ y $P_{2} = (4; 7.8)$

⟹ m = \frac{7.8 - 3.9}{4 - 0} = \frac{3.9}{4}

Reemplazamos esta pendiente $m$ en la ecuación lineal de la recta $(y = m x + b)$

y = m x + b

y = (\frac{3.9}{4}) x + b

Evaluamos la igualdad en un punto de corte $(x = 0 \lor y = 0)$ , en este caso $x = 0$

(3.9) = (\frac{3.9}{4}) (0) + b

⟹ 3.9 = b

∴ La ecuación lineal de la recta es: y = (\frac{3.9}{4}) x + 3.9

Según la tabla el $0$ corresponde al $2002$ , entonces el $5$ corresponderá al $2007$ ; evaluamos la ecuación lineal de la recta en $x = 5$

y = (\frac{3.9}{4}) x + 3.9

y = (\frac{3.9}{4}) (5) + 3.9

⟹ y = 8.775

En el problema nos dicen que el número de sistemas de navegación esta en millones

∴ En el año 2007 se instalaron 8^{'} 755^{'} 000 sistemas de navegación

Mezclas de fertilizantes
La firma Lawnco produce tres grados de fertilizantes comerciales. Una bolsa de $100$ libras de fertilizante grado $A$ contiene $18$ libras de nitrógeno, $4$ libras de fosfato y $5$ libras de potasio. Una bolsa de $100$ libras de fertilizante grado $B$ contiene $20$ libras de nitrógeno y $4$ libras tanto de fosfato como de potasio. Una bolsa de $100$ libras de fertilizante grado $C$ contiene $24$ libras de nitrógeno, $3$ libras de fosfato y $6$ libras de potasio.
¿Cuántas bolsas de $100$ libras de cada uno de los tres grados de fertilizante debe producir Lawmco si están disponibles $26400$ libras de nitrógeno, $4900$ libras de fosfato y $6200$ libras de potasio y se utilizan todos los nutrientes?

Solución

Nos hablan de 3 elementos: Nitrógeno (N), Fosfatos (F) y Potasio (K)

$1$ bolsa de $100$ libras de fertilizante grado $A$ contiene:
$18$ libras de nitrógeno
$4$ libras de fosfato
$5$ libras de potasio

⟹ A = 18 N + 4 F + 5 K

$1$ bolsa de $100$ libras de fertilizante grado $B$ contiene:
$20$ libras de nitrógeno
$4$ libras de fosfato
$4$ libras de potasio

⟹ B = 20 N + 4 F + 4 K

$1$ bolsa de $100$ libras de fertilizante grado $C$ contiene:
$24$ libras de nitrógeno
$3$ libras de fosfato
$6$ libras de potasio

⟹ C = 24 N + 3 F + 6 K

También nos dicen que se dispone de:

$26400$ libras de nitrógeno
$4900$ libras de fosfato
$6200$ libras de potasio

Y nos dan la condición de que se utilizan todos los recursos, entonces la suma de la cantidad de nitrógeno usado en las bolsas de $A$ , de $B$ y de $C$ sera igual al total disponible $26400$ (y así para todos los elementos)

⟹ \begin{array}{r} 18 A & + & 20 B & + & 24 C & = & 26400 \\ 4 A & + & 4 B & + & 3 C & = & 4900 \\ 5 A & + & 4 B & + & 6 C & = & 6200 \end{array}

Expresamos el sistema de ecuaciones en forma matricial

[\begin{array}{r} 18 & 20 & 24 \\ 4 & 4 & 3 \\ 5 & 4 & 6 \end{array}] [\begin{matrix} A \\ B \\ C \end{matrix}] = [\begin{array}{r} 26400 \\ 4900 \\ 6200 \end{array}]

Sacamos la matriz de coeficientes del sistema

M = (\begin{array}{rrr} 18 & 20 & 24 \\ 4 & 4 & 3 \\ 5 & 4 & 6 \end{array})

Por la Regla de Cramer sabemos que:
Si $| M | \neq 0$ :

A = \frac{| M_{1} |}{| M |}; B = \frac{| M_{2} |}{| M |}; C = \frac{| M_{3} |}{| M |}

Entonces calculamos $| M |$ :

| M | = | \begin{array}{rrr} 18 & 20 & 24 \\ 4 & 4 & 3 \\ 5 & 4 & 6 \end{array} | = 18 | \begin{array}{rr} 4 & 3 \\ 4 & 6 \end{array} | - 20 | \begin{array}{rr} 4 & 3 \\ 5 & 6 \end{array} | + 24 | \begin{array}{rrr} 4 & 4 \\ 5 & 4 \end{array} |

= 18 [(4) (6) - (4) (3)] - 20 [(4) (6) - (5) (3)] + 24 [(4) (4) - (5) (4)]

| M | = 18 [24 - 12] - 20 [24 - 15] + 24 [16 - 20]

| M | = 18 (12) - 20 (9) + 24 (- 4)

| M | = 9 (2) (12) - 180 + 24 (- 4)

| M | = 9 (24) - 180 + 24 (- 4)

| M | = 24 (9 - 4) - 180

| M | = 24 (5) - 180

| M | = 120 - 180

| M | = - 60

Como $| M | \neq 0$ entonces calculamos $| M_{1} |$ , $| M_{2} |$ y $| M_{3} |$ :

| M_{1} | = | \begin{array}{rrr} 26400 & 20 & 24 \\ 4900 & 4 & 3 \\ 6200 & 4 & 6 \end{array} | = - 24000

| M_{2} | = | \begin{array}{rrr} 18 & 26400 & 24 \\ 4 & 4900 & 3 \\ 5 & 6200 & 6 \end{array} | = - 36000

| M_{3} | = | \begin{array}{rrr} 18 & 20 & 26400 \\ 4 & 4 & 4900 \\ 5 & 4 & 6200 \end{array} | = - 18000

⟹ A = \frac{| M_{1} |}{| M |} = \frac{- 24000}{- 60} = 400

B = \frac{| M_{2} |}{| M |} = \frac{- 36000}{- 60} = 600

C = \frac{| M_{3} |}{| M |} = \frac{- 18000}{- 60} = 300

∴ Producirá bolsas de fertilizante de 100 libras:

$400$ bolsas de tipo $A$
$600$ bolsas de tipo $B$
$300$ bolsas de tipo $C$

Política - Afiliación de votantes
La matriz $A$ se obtiene del porcentaje de votantes elegible en la ciudad de Newton, clasificados en base a su afiliación de partido y grupo de edad.

\begin{matrix} Dem. & Rep. & Ind. \end{matrix}

A = \begin{matrix} Menores de 30 \\ 30 a 50 \\ Más de 50 \end{matrix} [\begin{matrix} 0.50 & 0.30 & 0.20 \\ 0.45 & 0.40 & 0.15 \\ 0.40 & 0.50 & 0.10 \end{matrix}]

La población de votantes elegibles en la ciudad por grupos de edad está dada por la matriz $B$

\begin{matrix} Menores de 30 & 30 a 50 & Más de 50 \end{matrix}

B = [\begin{matrix} 30, 000 & 40, 000 & 20, 000 \end{matrix}]

Encuentre una matriz que proporcione el número total de votantes elegibles en la ciudad que votarán por los demócratas, republicanos e independientes.

Solución

Tenemos una matriz $A_{3 \times 3}$ y $B_{1 \times 3}$ entonces para encontrar los votantes que votarán por cada grupo debemos multiplicar las matrices que por sus dimensiones sólo es posible multiplicar de la forma $B \times A$ resultando en una matriz $C_{3 \times 1}$ :

[\begin{matrix} 30000 & 40000 & 20000 \end{matrix}] [\begin{matrix} 0, 50 & 0, 30 & 0, 20 \\ 0, 45 & 0, 40 & 0, 15 \\ 0, 40 & 0, 50 & 0, 10 \end{matrix}] = [\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix}]

Donde:

c_{1} = 30000 \times 0, 50 + 40000 \times 0, 45 + 20000 \times 0, 40

c_{1} = 15000 + 18000 + 8000

c_{1} = 41000

c_{2} = 30000 \times 0, 30 + 40000 \times 0, 40 + 20000 \times 0, 50

c_{2} = 9000 + 16000 + 10000

c_{2} = 35000

c_{3} = 30000 \times 0, 20 + 40000 \times 0, 15 + 20000 \times 0, 10

c_{3} = 6000 + 6000 + 2000

c_{3} = 14000

⟹ C = [\begin{matrix} 41000 \\ 35000 \\ 14000 \end{matrix}] ∴

$41000$ votarán por Dem.
$35000$ votarán por Rep.
$14000$ votarán por Ind.